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Correction du sujet : Bac ES 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Énoncé

1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 2. c.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

géométrie dans l’espace
vecteur normal à un plan
orthogonalité

L’espace est rapporté au repère orthonormal (O,i,j,k) .

ABCDOFGH est un pavé défini par :

Soit L le milieu de [CG].

1. On considère l’ensemble (P) des points dont les coordonnées x, y et z vérifient : 4x - 3y + 8z - 12 = 0 .

1. a. Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent à (P) ? (1 point)

Les coordonnées de A, B, O, G, H et L sont les suivantes :

· A (0;0;3)

· B (0;4;3)

· O (0;0;0)

· G (3;4;0)

· H (3;0;0)

· L (3;4;3/2)

Pour qu’un de ces point appartiennent à (P), il faut et il suffit que ses coordonnées vérifient l’équation de (P) : 4x – 3y + 8z – 12 = 0 .

· point A : 4(0) – 3(0) + 8(3) – 12 = 12 donc A n’appartient pas à (P) ;

· point B : 4(0) – 3(4) + 8(3) – 12 = 0 donc B appartient à (P) ;

· point O : 4(0) – 3(0) + 8(0) – 12 = -12 donc O n’appartient pas à (P) ;

· point G : 4(3) – 3(4) + 8(0) – 12 = -12 donc G n’appartient pas à (P) ;

· point H : 4(3) – 3(0) + 8(0) – 12 = 0 donc H appartient à (P) ;

· point L : 4(3) – 3(4) + 8(3/2) – 12 = 0 donc L appartient à (P) .

donc seuls les points B, H et L appartiennent à (P) .

1. b. Justifier que l’ensemble (P) est le plan (BLH). (0,5 point)

Grâce à la forme de son équation ( 4x – 3y + 8z – 12 = 0 ) nous pouvons tout de suite affirmer que (P) est un plan.

Par le résultat de la question 1. a. , nous savons que B, H et L appartiennent à (P) . Pour montrer que (P) est le plan (BLH) , il suffit alors de montrer que ces trois points distincts ne sont pas alignés.

On a :

Il n’existe pas de réel k non nul tel que = k ,

donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires,

donc les points B, L et H ne sont pas alignés ,

donc (P) est le plan (BLH) .

2. a. Donner les coordonnées d’un vecteur normal au plan (BLH) . (0,5 point)

Par hypothèse de l’énoncé, on sait qu’une équation du plan (P) est : 4x - 3y + 8z - 12 = 0 ,

donc par le cours, on a immédiatement qu’un vecteur normal au plan (BLH) a pour coordonnées :

( 4 ; -3 ; 8 )

2. b. Soit (D) la droite passant par A et de vecteur directeur

Montrer que (D) est l’ensemble des points M tels que : (1 point)

En déduire un système d’équations caractérisant la droite (D). (1 point)

La droite (D) passe par A et un vecteur directeur de cette droite est , qui est un vecteur normal au plan (BHL) ,

donc un point M appartient à (D) si, et seulement si, la droite (AM) est orthogonale au plan (BHL) ,

c’est-à-dire si est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BHL) .

Or nous savons (cf. question 1. b. ) que les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires du plan (BHL) . L’orthogonalité entre et d’une part, et entre et d’autre part peut s’écrire sous la forme de produits scalaires nuls.