Correction du sujet : Bac ES 1999 Amérique du Nord (Juin 99)
Exercice
1 (5 points) Énoncé
1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. 3. a. 3. b.
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
- probabilités
- variable aléatoire : loi de probabilité
- espérance mathématique
Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles.
Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante :
· 43,5 % ont choisi l’abonnement 4 spectacles ;
· 33 % ont choisi l’abonnement 5 spectacles ;
· le reste a choisi l’abonnement 6 spectacles.
D’autre part, 65 % des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la répartition est différente :
· 40 % ont choisi l’abonnement 4 spectacles ;
· 40 % ont choisi l’abonnement 5 spectacles ;
· le reste a choisi l’abonnement 6 spectacles.
On interroge un abonné au hasard.
On note A l’événement "L’abonné interrogé a moins de 25 ans" . Ainsi la probabilité p(A) de cet événement est 0,65.
On note B l’événement "L’abonné interrogé a choisi 5 spectacles".
Pour tout événement V, on note 
l’événement contraire de V .
1. a. Quelle est la probabilité que l’abonné interrogé ait 25 ans ou plus ? (0,5 point)
L’événement “ L’abonné interrogé a 25 ans ou
plus ” est l’événement contraire de A et on a :
p(
) = 1 - p(A) = 1- 0,65 (car 65
% = 65/100 = 0,65)
d’où p()
= 0,35 ,
donc la probabilité que l’abonné interrogé ait plus
de 25 ans est égale à 0,35 .
1. b. Sachant que l’abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle est la probabilité qu’il ait choisi 5 spectacles ? (0,5 point)
Par hypothèse de l’énoncé, parmi les jeunes de moins
de 25 ans, 40 % ont choisi l’abonnement 5 spectacles, donc
p(B/A) = 0,4 (car 40 % = 40/100
= 0,4)
donc la probabilité que l’abonné interrogé ait choisi 5 spectacles sachant qu’il a moins de 25 ans est égale à 0,4 .
1. c. Décrire l’événement (AÇB), et démontrer que la
probabilité p(AÇB)
est égale à 0,26. (1 point)
A Ç B est l’événement : “ L’abonné interrogé a moins de 25 ans
et a choisi l’abonnement 5 spectacles ” et on a :
p(A Ç B) = p(B/A) ´ p(A)
p(A Ç B) = 0,4 ´ 0,65 = 0,26
La probabilité de l’événement (A Ç B) est donc égale à 0,26 .
2. a. Démontrer que la probabilité p( 
ÇB) est égale à 0,07. (1,5 point)
A et forment une partition de l’univers des
abonnés (car un abonné a forcément soit moins de 25 ans, soit 25 ans ou plus),
donc d’après la formule des probabilités totales, on
a :
p(B) = p( Ç B) + p(A Ç B) .
Or, par hypothèse, 33 % des abonnés ont choisi
l’abonnement pour 5 spectacles,
donc p(B) =
0,33 ,
d’où :
0,33 = p(
Ç B) + 0,26
d’où :
p(
Ç B) = 0,33 – 0,26
d’où :
p(
Ç B) = 0,07
2. b. En déduire la probabilité conditionnelle
de B sachant que est réalisé. (0,5 point)
La probabilité de B sachant que 
est réalisé :
p(B/) .
On a :
d’où : p(B/)
= 0,2
3. L’abonnement pour 4 spectacles coûte 50 euros, celui pour 5 spectacles coûte 60 euros, et celui pour 6 spectacles coûte 70 euros. On appelle X la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l’abonné interrogé.
3. a. Donner la loi de probabilité de X en complétant : (0,75 point)
|
xi |
50 |
60 |
70 |
|
p (X = xi) |
|
|
|
Par
hypothèse de l’énoncé :
- 43,5 % des abonnés
ont choisi l’abonnement 4 spectacles donc p(X=50) = 0,435
- 33 % des abonnés
ont choisi l’abonnement 5 spectacles, donc p(X=60) = 0,33
Or on a : p(X
= 50) + p(X = 60) + p(X = 70) = 1
d’où
: 0,435 + 0,33 + p(X = 70) =
1
d'où : p(X = 70) = 1 - 0,435 - 0,33
d’ou : p(X = 70) = 0,235
On
en déduit la loi de probabilité de X :
|
xi |
50 |
60 |
70 |
|
p(X = xi) |
0,435 |
0,33 |
0,235 |
3. b. Calculer l’espérance de X . (0,25 point)
L’espérance
mathématique de X est :
E(X) = 50 ´ p(X=50) + 60 ´ p(X=60) + 70 ´ p(X=70)
E(X) = 50 ´ 0,435 + 60 ´ 0,33 + 70 ´ 0,235
E(X) = 58 euros
donc l’espérance mathématique de X est de 58 euros.
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