produit scalaire

Bonjours,

Deux points distincts O et C et k un réel positif strict. On a Ek l'ensemble des points M du plan tel que MO / MC = k
1) déterminer l'ensemble des points M du plan tel que MO / MC = k

On suppose pour tout ce qui vient que k 1

2) montrer que MO / MC = k équivaut à (MO - kMC ) . (MO + kMC )=0 (MO et MC sont des vecteurs)

3) Soit B et E points définis par : vecteur CB = 1 / 1-k vecteur CO et vecteur CE = 1 / 1+k vecteur CO
Justifier que O,C,B,E sont alignés .
Montrer avec Chasles que :
vecteur MO - k vecteur MC = (1-k) vecteur MB
et vecteur MO + k vecteur MC = (1+k) vecteur ME

4) en déduire que MO / MC = k vecteur MB.ME vecteur =0
Conclure que l'ensemble des points de M est le cercle de diamètre [BE]

J'ai réussi la question 1 et 2 il ne me manque plus que la question 3 et 4... Si quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait...

Bonjour,

Je passe ici presque tous les jours, mais malheureusement, les "bons" messages ne sont pas très visibles pour le moment...
J'espère ne pas répondre trop tard.

Dans la phrase "On suppose pour tout ce qui vient que k 1" je suppose (selon l'énoncé qui suit) que c'est k différent de 1, puisqu'on retrouve (1-k) au dénominateur d'une fraction et qu'on ne divise pas par 0.

Le vecteur CB est un multiple du vecteur CO, et donc B appartient à la droite CO, et donc O, C et B sont alignés.
De même, le vecteur CE est un multiple de CO et donc E appartient aussi à la droite CO, et donc les 4 points sont bien alignés.

Pour la suite, et pour alléger l'écriture ici, je noterai MO le vecteur MO, de même pour MC, MB etc.
Pour prouver que:

MO - kMC = (1-k)MB , le "truc" est de faire "apparaître MB dans MO, en écrivant: MO = MB + BO, et de même, MC = MB + BC. Cela donne:

MO - kMC = MB + BO - k( MB + BC )
= MB - k MB + [ BO - kBC ]
= (1-k)MB + [BC + CO - kBC] (pour faire apparaître la définition du point B)
= (1-k)MB + [ -(1-k)CB + CO] (puisque BC = -CB) et comme, par définition de B, on a BC = (1/(1-k)) CO, on a [ -(1-k)CB + CO] = vecteur nul, et donc:
= (1-k)MB

On fait de même avec MO + kMC = ME + EO + k(ME + EC) = (1+k)ME + [ EO + kEC] = (1+k)ME + [(EC + CO) + kEC] = (1+k)ME + [(1+k)EC + CO]
Et on conclut grâce à la définition de E

Enfin, pour la quatrième question, j'écrirai |MO| pour la longueur de MO, etc.

Par la deuxième question, on sait que:
|MO|/|MC| = k équivaut à (MO - kMC ) . (MO + kMC )=0
Par la troisième question, on sait que (MO - kMC) = (1-k)MB et (MO + kMC) = (1+k)ME
Donc,
|MO|/|MC| = k équivaut à 0 = (1-k)MB . (1+k)ME = (1-k²)MB.ME et comme k est différent de 1:
|MO|/|MC| = k équivaut à MB.ME = 0, ou encore que MB et ME sont perpendiculaires.
Et si ME et MB sont perpendiculaires, [BEM] est un triangle rectangle en M, dont l'hypoténuse est [BE]
Or l'ensemble des points M tels que [BEM] soit un triangle rectangle, rectangle en M, est un cercle de diamètre [BE]

Voilà, je viens un peu tard peut-être, mais si quelque chose n'est pas clair, il suffit de le dire. Bonne fête du travail! JP



Modifié 2 fois. Dernière modification le 01/05/13 01:24 par JP.